Лабораторная работа № 11
При выборочном контроле по результатам проверки выборки
обычно принимают одно из следующих решений:
1. Принять непроконтролированную
(оставшуюся) часть партии без дальнейшего контроля.
2. Отвергнуть оставшуюся часть партии без дальнейшего
контроля.
3. Провести сплошной контроль оставшейся части партии.
Например, в случае одноступенчатого контроля возможные типы
планов можно обозначить так: (nc)12, (nc)13, (nc)23.
Если, допустим, при плане (nc)12 окажется,
что в выборке m £ c, принимается решение 1. Если же m>c, принимается решение 2.
Ранее рассматривались именно планы типа (nc)12.
Рассмотрим план (nc)13,
когда отклонённые партии подвергаются сплошному контролю, т.е. контролируются
оставшиеся (N-n) изделий, а выявленные дефектные
изделия заменяют годными. Пусть на контроль поступают партии изделий с
постоянным уровнем дефектности q. Тогда партии
принимаются с вероятностью P(q), и уровень
дефектности в принятых партиях равен . Партии отклоняются и подвергаются сплошному контролю с
вероятностью 1 – P(q). Уровень дефектности в этих
партиях равен 0. Тогда средний выходной уровень дефектности AOQ равен
Поскольку AOQ = 0 при q = 0 и при
q = 1, то внутри интервала 0 £ q £ 1 имеется некоторое максимальное значение AOQ. Этот максимальный для заданного плана
контроля средний уровень дефектности называют пределом среднего выходного
уровня дефектности AOQL.
При использовании плана (nc)13
число проконтролированных в партии изделий
есть случайная величина, принимающая значение n
с вероятностью P(q), и значение N с вероятностью 1-P(q). Поэтому среднее число проконтролированных изделий в
партии
nср= n*P(q) + N*(1-P(q))
При налаженном производстве партий одинакового объёма N
количество дефектных изделий в i-й партии Di является случайной величиной.
Последовательность чисел Di имеет интегральную функцию распределения
Для получения оценок распределения FN(D), а
также среднего входного уровня дефектности qср , обычно используют информацию, накапливаемую в процессе проведения
контроля, а на начальных этапах организации контроля с этой целью проводят
сплошной контроль определённого числа партий.
Пример
11.1. Сплошному контролю подвергнуто k = 100
партий по N = 250 изделий в каждой. Результаты контроля приведены в табл. 11.1, в
которой mD означает число партий с D
дефектными изделиями. Требуется получить оценку среднего входного уровня
дефектности, а также проверить гипотезу, что число дефектных изделий в партии D
подчиняется распределению Пуассона.
Таблица 11.1.
D |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
14 |
17 |
20 |
mD |
4 |
9 |
18 |
24 |
17 |
11 |
5 |
3 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
В ячейку А1 новой книги Excel вводим заголовок работы. В ячейки В3 и В4 вводим соответственно объём
партии и количество партий. В диапазон А7:В20 вводим данные табл. 11.1 с
заголовками столбцов D и mD
в ячейках А6 и В6.
Оценку среднего входного уровня дефектности можно получить
как отношение общего числа дефектных изделий во всех проконтролированных
партиях к общему числу изделий, т.е.
Для нахождения qср вводим столбец с заголовком D*mD с заголовком в ячейке С6. Соответствующие произведения
рассчитываем в диапазоне С7:С20. В ячейке Е3 рассчитываем значение qср. Для этого находим сумму ячеек
С7:С20 с помощью математической формулы СУММ, затем переводим курсор в строку
формул и делим полученную сумму на N и k. Формула в ячейке Е3 будет выглядеть,
например, так: =СУММ(C7:C20)/B4/B3. В
результате получим значение qср, равное
0,01584.
Поскольку qср < 0,1,
то можно предположить, что число дефектных изделий в партиях D
действительно распределено по закону Пуассона. Для проверки этого воспользуемся
критерием согласия Пирсона.
Вначале необходимо рассчитать теоретическую частоту mD теор появления партий с D дефектными
изделиями. Она равна
mD теор= k*P(D),
где P(D)
– вероятность появления партии с D дефектными изделиями. Как мы предположили , P(D) должно описываться дифференциальной
функцией распределения Пуассона, рассчитываемой по статистической формуле
ПУАССОН. Таким образом, вводим столбец с заголовком mD теор в ячейке D6, и в ячейке D7 рассчитываем значение mD
теор для D = 0. Поскольку mD
теор должно быть целым числом (теоретическое число партий с D дефектными изделиями), то в ячейку D7 вначале
вводим математическую формулу ОКРУГЛ (округляет число до указанного количества
десятичных разрядов). Во вторую строку открывшегося диалогового окна вводим 0
как количество десятичных разрядов, до которого нужно округлить. В первую
строку вводим округляемое число, в данном случае - произведение k*P(D). В качестве k вводим ссылку на ячейку В4, затем
вводим знак *. Далее в качестве выражения для P(D) встраиваем функцию ПУАССОН. Для этого в строке формул
открываем список функций, выбираем Другие функции… и открываем функцию ПУАССОН. Учитывая, что каждая партия представляет
собой выборку из общего потока продукции, в первую строку диалогового окна
функции ПУАССОН вводим количество дефектных изделий в партии, т.е. ссылку на
ячейку А7. Во вторую строку вводим значение математического ожидания числа
дефектных изделий в партии, равное произведению N*qср, т.е. буквально выражение B3*E3. В третью строку вводим значение ложь, поскольку P(D) представляет собой дифференциальную
функцию распределения Пуассона. В результате в ячейке D7 получаем значение 2. Формула в
ячейке D7
выглядит так: =ОКРУГЛ(B4*ПУАССОН(A7;B3*E3;ЛОЖЬ);0). После указания необходимой
абсолютной адресации формулу из D7 копируем в диапазон D8:D20.
Перед расчётом наблюдаемого значения критерия Пирсона
рекомендуется просуммировать с соседними те частоты появления партий md (и mD теор соответственно ), которые
имеют значения меньше 5. Новые значения md и mD теор вводим с клавиатуры в диапазон F7:G13.
Наблюдаемое значение
критерия Пирсона рассчитываем по формуле
Для этого сначала в диапазоне Н7:Н13 рассчитываем значения
Затем в ячейке Н3 рассчитываем наблюдаемое значение
критерия Пирсона. Расчётная формула выглядит так: =СУММ(H7:H13). Получаем
значение 6,716666667.
В ячейке Н4 находим
табличное значение критерия Пирсона c2табл
по статистической
формуле ХИ2ОБР (находим именно обратное значение распределения хи-квадрат, т.к. ищется квантиль от функции распределения,
а не наоборот). В диалоговом окне функции в строку Вероятность вводим значение уровня значимости 0,05. В строку Степени_свободы вводим число степеней свободы,
равное l – c – 1, где l – количество
интервалов, т.е. количество значений mD, равное 7; с – количество параметров
распределения, равное 1 (параметр l). Таким
образом, число степеней свободы равно 5. Рассчитанное табличное значение
критерия Пирсона равно 11,07048257. Поскольку c2табл > c2набл, то гипотеза о виде распределения не
отвергается. Примем. что распределение числа дефектных изделий в партиях
подчиняется закону Пуассона. Результаты расчётов показаны на рис. 11.1.
Задание
1.
Выполнить расчёты в соответствии с
примером 11.1.
2.
Построить график функции AOQ в диапазоне q от 0 до 1 для плана контроля типа
(n,c)13 с параметрами N = 200, n = 10, c = 2. Чему равно для этого плана
значение предела среднего выходного уровня дефектности?
3.
Построить график зависимости
среднего числа проконтролированных изделий в партии в зависимости от q для
плана контроля с параметрами, указанными в задании 2.
Рис. 11.1. Результаты расчётов в примере 11.1